История возникновения

Возникновение геометрии относится к глубокой древности и обусловлено практическими потребностями измерения земельных участков, объемов и др. Строгое построение геометрии как системы предложений (теорем), последовательно выводимых из немногочисленных определений основных понятий и истин, принимаемых без доказательства (аксиом), было дано в Древней Греции. Такое изложение геометрии в "Началах" Евклида (около 300 до н. э.) в течение почти 2 тыс. лет служило образцом применения аксиоматического метода и основного построения евклидовой геометрии. Возрождение наук и искусств в Европе стимулировало развитие геометрии: теоретической основой построения изображений явилась проективная геометрия. Рене Декарт предложил метод координат, позволивший связать геометрию с алгеброй и математическим анализом, что породило аналитическую геометрию и дифференциальную геометрию. В 1826 Н. И. Лобачевский построил геометрию Лобачевского, отличающуюся от евклидовой аксиомой (постулатом) о параллельных. В середине 19 века были рассмотрены многомерные пространства. Некоторый общий принцип построения различных обобщенных понятий пространства (и соответствующих им геометрий) на основе теории групп преобразований был дан Ф. Клейном (1872). Обширная область геометрии - Риманова геометрия - была заложена во второй половине 19 века в работах Б. Римана. Обобщение основного предмета геометрии пространства привело к плодотворному применению геометрии в самых различных областях не только математики, но и других наук (физики, механики и др.).  В истории математики традиционно выделяются несколько этапов развития математических знаний: Формирование понятия геометрической фигуры и числа как идеализации реальных объектов и множеств однородных объектов. Появление счёта и измерения, которые позволили сравнивать различные числа, длины, площади и объёмы. Изобретение арифметических операций. Накопление эмпирическим путём (методом проб и ошибок) знаний о свойствах арифметических действий, о способах измерения площадей и объёмов простых фигур и тел. В этом направлении далеко продвинулись шумеро-вавилонские, китайские и индийские математики древности. Появление в древней Греции дедуктивной математической системы, показавшей, как получать новые математические истины на основе уже имеющихся. Венцом достижений древнегреческой математики стали «Начала» Евклида, игравшие роль стандарта математической строгости в течение двух тысячелетий. Математики стран ислама не только сохранили античные достижения, но и смогли осуществить их синтез с открытиями индийских математиков, которые в теории чисел продвинулись дальше греков. В XVI—XVIII веках возрождается и уходит далеко вперёд европейская математика. Её концептуальной основой в этот период являлась уверенность в том, что математические модели являются своего рода идеальным скелетом Вселенной, и поэтому открытие математических истин является одновременно открытием новых свойств реального мира. Главным успехом на этом пути стала разработка математических моделей зависимости (функция) и ускоренного движения (анализ бесконечно малых). Все естественные науки были перестроены на базе новооткрытых математических моделей, и это привело к колоссальному их прогрессу. В XIX—XX веках становится понятно, что взаимоотношение математики и реальности далеко не столь просто, как ранее казалось. Не существует общепризнанного ответа на своего рода «основной вопрос философии математики»: найти причину «непостижимой эффективности математики в естественных науках». В этом, и не только в этом, отношении математики разделились на множество дискутирующих школ. Наметилось несколько опасных тенденций: чрезмерно узкая специализация, изоляция от практических задач и др. В то же время мощь математики и её престиж, поддержанный эффективностью применения, высоки как никогда прежде. История возникновения геометрии. Заглянем в прошлое, когда зародилась наука геометрия.... Для первобытных людей важную роль играла форма окружавших их предметов. По форме и цвету они отличали съедобные грибы от несъедобных, пригодные для построек породы деревьев от тех, которые годятся лишь на дрова, вкусные орехи от горьких и т.д. Особенно вкусными казались им орехи кокосовой пальмы, которые имеют форму шара. А добывая каменную соль, люди наталкивались на кристаллы, имевшие форму куба. Так, овладевая окружающим их миром, люди знакомились с простейшими геометрическими формами. Уже 200 тысяч лет тому назад были изготовлены орудия сравнительно правильной геометрической формы, а потом люди научились шлифовать их. Специальных названий для геометрических фигур, конечно, не было. Говорили: «такой же, как кокосовый орех» или «такой же, как соль» и т.д.  А когда люди стали строить дома из дерева, пришлось глубже разобраться в том, какую форму следует придавать стенам и крыше, какой формы должны быть бревна. Сами того не зная, люди все время занимались геометрией: женщины, изготавливая одежду, охотники, изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась. изготавливая наконечники для копий или бумеранги сложной формы, рыболовы, делая такие крючки из кости, чтобы рыба с них не срывалась. Когда стали строить здания из камня, пришлось перетаскивать тяжелые каменные глыбы. Для этого применялись катки. И заметили, что перекатка проще, если взять кусок дерева с почти одинаковой толщиной в начале и в конце. Так люди познакомились с одним из важнейших тел – цилиндром. Скалками цилиндрической формы пользовались и женщины, раскатывая белье после стирки. Перевозить грузы на катках было довольно тяжело, потому что сами древесные стволы весили много. Чтобы облегчить работу, стали вырезать из стволов тонкие круглые пластинки и с их помощью перетаскивать грузы. Так появилось первое колесо. Но не только в процессе работы знакомились люди с геометрическим фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище (бусинки, браслеты, кольца, украшения из драгоценных камней и металлов, роспись дворцов). Для того, чтобы взимать налоги с земли, необходимо было знать их площадь. Гончару необходимо было знать, какую форму следует придать сосуду, чтобы в него входило то или иное количество жидкости. Астрономы, наблюдавшие за небом и дававшие на основе этих наблюдений указания, когда начинать полевые работы, должны были научиться определять положение звезд на небе. Для этого понадобилось измерять углы. Так практическая деятельность людей привела к дальнейшему углублению знаний о формах фигур, развитию геометрии. Люди стали учиться измерять и площади, и объемы, и длины и т.д. Древние египтяне были замечательными инженерами. До сих пор не могут до конца разгадать загадки огромных гробниц Египетских царей – Фараонов. Пирамиды – а они построены более 5 тыс. лет назад – состоят из каменных блоков весом 15 тонн, и эти «кирпичики» так подогнаны друг к другу, что не возможно между ними протиснуть и почтовую открытку. А при строительстве использовали лишь простейшие механизмы – рычаги и катки. «Все боится времени, но само время боится пирамид». В Вавилоне при раскопках ученые обнаружили остатки каменных стен, высотой в несколько десятков метров, а высота Вавилонской башни достигает 82 метра. Без математических знаний все эти сооружения невозможно было бы построить. И все же математические знания египтян и вавилонян были разрозненные и представляли собой свод правил, проверенных практикой, поэтому правила надо было зазубривать, не понимая, почему надо применять то, а не другое. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающимися геометрами. Девиз древней школы был: "Не знающие геометрии не допускаются!" Настает время привести все разрозненные знания в систему. Геометрия… откуда взялось это слово? Что оно означает? Попробуем разгадать его смысл. Ведь вам постоянно встречаются похожие слова: география, геология, геодезия… а есть еще геоботаника и т.п. это все названия различных наук или разделов наук. Со смыслом слова география вы уже знакомы. «Гео» означает «Земля», «метр» - это единица измерения длины (от греческого слова «метрео» - «измеряю». Таким образом, получается, что геометрия в переводе с греческого означает «измерение земли» или «землемерие». «Геометрия была открыта египтянами и возникла при измерении земли. Нет ничего удивительного в том, что эта наука как и другие, возникла из потребностей человека. Всякое возникающее знание из несовершенного состояния переходит в совершенное. Зарождаясь путем чувственного восприятия, оно постепенно становится предметом рассмотрения и наконец, делается достоянием разума». Эти замечательные слова приписывают греческому ученому Евдему Родосскому, жившему в IV в.до н.э. В «Энциклопедическом словаре юного математика» написано: «Геометрия – одна из наиболее древних математических наук. Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах (III тысячелетие до н.э.), а также в других источниках». И наиболее удачно была изложена геометрия, как наука о свойствах геометрических фигур, греческим ученым Евклидом (III в. до н. э.) в своих книгах «Начала». Евклид жил в Александрии, был современником царя Птоломея I и учеником Платона. Славу Евклиду создал его собирательный труд «Начала». Произведение состояло из 13 томов, описанная в этих книгах геометрия получила название Евклидова. Величайшая заслуга его состояла в том, что он подвел итог построению геометрии придал ее изложению столь совершенную форму, что на 2 тысячи лет «Начала» стали основным руководством по геометрии. В течение многих веков «Начала» были единственной учебной книгой, по которым молодежь изучала геометрию. Были и другие. Но лучшими признавались «Начала» Евклида. И даже сейчас, в наше время, учебники написаны под большим влиянием «Начал» Евклида. Конечно, геометрия не может быть создана одним ученым. В работе Евклид опирался на труды десятков предшественников и дополнил работу своими открытиями и изысканиями. Сотни раз книги были переписаны от руки, а когда изобрели книгопечатание, то она много раз переиздавалась на языках всех народов и стала одной из самых распространенных книг в мире.    В одной легенде говорится, что однажды египетский царь Птолемей I спросил древнегреческого математика, нет ли более короткого пути для понимания геометрии, чем тот, который описан в его знаменитом труде, содержащемся в 13 книгах.  Ученый гордо ответил: "В геометрии нет царской дороги".ГЕОМЕТРИЯ. Греческое слово "геометрия" состоит из двух слов: "гео" — «земля» и »метрио" — "мерю", т.е. в переводе это слово означает «землемерие». ГРАНЬ. Общеславянское слово. Первоначальное значение — »выступающее, торчащее, остроконечное". Грань многогранника — это плоский многоугольник, являющийся частью поверхности многогранника и ограниченный ее ребрами. ДИАГОНАЛЬ. Термин состоит из греческих слов "диа" — "через" и "гон" — "угол". Буквальное значение слова — "проходящая через угол". Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две вершины многоугольника, не принадлежащие одной его стороне. ДИАМЕТР. Греческое слово, в переводе означает "поперечник", "калибр". Диаметр окружности — это отрезок, соединяющий любые две точки окружности и проходящий через ее центр. КВАДРАТ. Термин образовался как буквальный перевод соответствующего греческого слова "квадратус" — "четырехугольный". Квадрат — это прямоугольник, у которого длины всех сторон равны. Квадрат — правильный четырехугольник. КОНУС. Происходит от греческого "конос", что в переводе означает «сосновая шишка" или "остроконечная верхушка шлема", "кегля", "остроконечный предмет". Конус— это геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью, пересекающей ее по замкнутой кривой. Если основание конуса есть круг и вершина конуса проецируется в центр круга, то конус называется прямым круглым конусом. Он образуется вращением прямоугольного треугольника около одного из его катетов. Пирамида есть частный случай конуса, когда его основание многоугольник. КРУГ. Общеславянское слово, имеющее соответствия в германских языках: в древнегерманском "кригер" — "кольцо", "круг", в греческом — "колесо", "круг"). Круг— это множество всех точек плоскости, расстояние от каждой из которой до данной точки этой плоскости не больше данного расстояния. КУБ. Происходит от греческого "кубос" — "игральная кость". Куб — это правильный шестигранник. Куб — это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого конгруэнтны между собой. ЛИНИЯ. Происходит от латинского слова "линеа", которое произошло от "линум" — "лен", "льняная нить". Линия не имеет четкой формулировки и иногда определяется как «длина без ширины» или как "граница без поверхности". ЛОМАНАЯ. Общеславянское слово, производное от "лом", "ломать". Ломаная— это объединение отрезков, конец каждого из которых (кроме последнего) является началом следующего, причем смежные отрезки не лежат на одной прямой. Отрезки ломаной называются звеньями. Ломаная без самопересечений, у которой конец совпадает с началом, называется простой замк­нутой ломаной. МАТЕМАТИКА. Греческое слово "масма" означает "наука", "ученье", "учусь через размышление". Этот термин ввели пифагорейцы в Древней Гре­ции. В те времена (VI в. до н.э.) математика включала в себя четыре отрасли науки: учение о числах (арифметику), теорию музыки (гармонию), учение о фигурах и измерениях (геометрию) и астрономию. Математика — наука о количественных отношениях и пространственных, формах действительного мира. МНОГОГРАННИК. Термин образован путем соединения двух слов "много"’ и "грань". Многогранник — геометрическое тело, граница которого есть объединение конечного числа многоугольников. Выпуклый многогранник называется правильным, если у него все грани — правильные конгруэнтные многоугольники и все многогранные углы конгруэн­тны. МНОГОУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения двух слов ‘"мно­го" и "угол". Имеет соответствия в индоевропейских языках (например, в гре­ческом "полигон" ("многоугольник") составлено из "поли" — »много" и "гонна" — "угол"). Многоугольник— объединение простой замкнутой ломаной и его внутрен­ней области. Ломаная называется границей многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, вершины ломаной — вершинами многоугольника. Правильным многоугольником называется плоский выпуклый многоугольник, у которого стороны конгруэнтны и все внутренние углы тоже конгруэнтны. ОВАЛ. Французское слово "оваль" — "овальный" произошло от латинского] "овум" — "яйцо". Овал — замкнутая выпуклая гладкая плоская кривая. ОВАЛОИД. Этот термин образован путем соединения двух слов "оваль" — "овальный" и "эидос" — "вид". Овалоид — это множество точек пространства, которое произвольная прямая пересекает не более чем в двух точках. Овалоид — это пространственный вариант овала. ОКРУЖНОСТЬ. В переводе сгреческого это слово означает "периферия". Окружность — это множество точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в той же плоскости и называемой ее центром. Окружность — это граница круга. ОСЬ. Общеславянское слово, имеющее соответствия в других индоевропейских языках (сравним в латинском "оксис" — "ось", "прямая"). Ось— это прямая линия, проходящая через центр чего-то (или через центр вращения тела). ОТРЕЗОК. Общеславянское слово, производное от "резать". Отрезок— множество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. Это слово образовано путем соединения двух грече­ских слов: "параллелос" — "параллельный" и "грамме" — "линия", т.е. буквально переводится как "параллельнолинейный". Параллелограмм — это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны. ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.Термин образован путем соединения двух греческих слов: "параллелос" — "параллельный" и "эпипедос" — "плоскость". Параллелепипед — призма, основанием котopoй является параллело­грамм. Если боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны плоскости основа­ния, то параллелепипед называется прямым, и противном случае — наклонным. Если основание прямого параллелепипеда — прямоугольник, то такой параллелепипед называется прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед с разны­ми измерениями называется кубом. ПЕРПЕНДИКУЛЯР. Термин был образован в средние века от латинского слова "перпендикулюм" — "отвес", которое, в свою очередь, произошло от слова "взвешивать". Перпендикуляром к данной прямой называется прямая, пересекающая данную прямую под прямым углом. ПИРАМИДА. Одни считают, что греческое слово »пирамида" происходит от египетского "пирамус" — "боковое ребро сооружения". Существует другое предположение: термин берет своё начало от формы хлебцев в Древней Гре­ции, т.е. является производным от греческого слова "пирос" — "рожь". Неко­торые ученые считают, что термин произошел от греческого слона "пир" — "огонь", т.к. пламя иногда напоминает по форме пирамиду. Пирамида— это многогранник, одна из граней которого — многоугольник, а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину. ПРИЗМА. Греческое слово "призма" означает "отпиленный кусок", "отпи­ленная часть". Призма— это многогранник, у которого две грани — конгруэнтные n-угольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — паралле­лограммы. Конгруэнтные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы, а другие грани (параллелограммы) — боковыми гранями призмы. Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, называется прямой призмой, в противном случае — наклонной. Призма, основанием кото­ром является параллелограмм, называется параллелепипедом. ПРЯМАЯ. Общеславянское слово, имеющее соответствия в других индоевропейских языках (сравним в греческом "промос" — "передовой", "прямой"). Классификация линий на прямые, ломаные, кривые и углов — на пря­мые, острые и тупые берет свое начало в глубокой древности. Прямая— одно из основных понятий геометрии, косвенное определение которому дается через аксиомы. ПРЯМОУГОЛЬНИК. Термин образован путем соединения двух слов: "прямой" и "угол". Прямоугольник— это четырехугольник, у которого все углы прямые. Прямоугольник является параллелограммом. Прямоугольник, у которого смежные стороны конгруэнтны, называется квадратом. ПРЯМОЙ УГОЛ. Одно из древних геометрических понятий, оно связано с образом вертикального положения человека и многих предметов окружающей среды. Прямой угол — угол, конгруэнтный своему смежному. Величина прямого угла равна 90 градусов. РАДИУС. Слово происходит от латинского "радиус" — "луч", "спица в ко­лесе". Термин становится общепринятым лишь в конце XVII в. Радиус окружности — это расстояние от центра окружности до любой ее точки. РАССТОЯНИЕ. Слово заимствовано из старославянского языка. Образовано от "расстояти" — "стоять в отдалении". Расстояние от одной точки до другой — основное неопределяемое понятие в математике. РЕБРО.Общеславянское слово, образованное от основы «реб», имеющей ин­доевропейский характер (сравним и англосакском »рибби" — "ребро", "узкий край", "сторона предмета"). Ребрами многогранника называются стороны граней многогранника. РОМБ. Одни считают, что этот термин произошел от греческого слова "ромбос", означающего »бубен", т.к. ромб похож на четырехугольный бубен, другие — что от греческого слова "’ромб", которое означает «вращающееся тело», «веретено», т.к. сечение в обмотанном веретене имеет форму ромба. Ромб — что параллелограмм, все стороны которого конгруэнтны. СТОРОНА.Общеславянское слово, имеющее индоевропейский характер. Сторонами многоугольника называются звенья границы многоугольника. СФЕРА.Термин происходит от греческого "сфайра" — "шар", "мяч". Сфера — это множество точек трехмерного пространства, находящихся на данном положительном расстоянии от данной точки. ТОЧКА.Общеславянское слово, происходит от глагола "ткнуть" и означает результат мгновенного прикосновения, укола. Точка — это одно из основных понятий геометрии, косвенное определение которому дается в аксиомах. ТРАПЕЦИЯ. Греческое слово "трапедзион" переводится как "столик" (сравним со словом "трапеза"). Раньше трапецией называли любой четырех­угольник (не параллелограмм). Лишь в XVII п. это слово приобрело современ­ный смысл. Трапеция — это выпуклый четырехугольник, у которого две противополож­ные стороны параллельны, а две другие не параллельны. ТРЕУГОЛЬНИК.Термин образован путем соединения двух слов: "три" и "угол". Слово "три" общеславянское, индоевропейского характера (сравним в греческом "трйс" — "три"). Понятие о треугольнике исторически развива­лось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные и прямо­угольные треугольники, затем — равнобедренные и, наконец, разносторонние треугольники. В русских учебниках геометрии конца XIX и. используются такие термины, как "треугольники о равных бедрах», "бок угла", "бок квадрата". Только в последнее десятилетие XIX в. устанавливается знакомая нам термино­логия. Треугольник— это многоугольник с тремя сторонами. УГОЛ. Общеславянское слово индоевропейского характера (сравним в ла­тинском »ангулус" — "угол", "кривой"). Угол— одна из частей плоскости, ограниченная двумя лучами с общим нача­лом. ФИГУРА.Латинское слово, означает "образ", "вид", "начертание". Этот термин вошел в общее употребление в XIIв. До этого чаще употреблялось другое латинское слово — "форма", также означающее »наружный вид", "внешнее очертание предмета". Фигура— это часть плоскости, ограниченная замкнутой линией, или часть пространства, ограниченная замкнутой поверхностью. ЦЕНТР.Произошло от латинского слова »центрум", которое, в свою оче­редь, произошло от древнегреческого "кентрон", означавшего "колющее ору­дие", "острие ножки циркуля". Центр окружности — точка, равноудаленная от всех точек окружности, лежа­щая в одной с ней плоскости. ЦИЛИНДР.Происходит от греческого «кылиндрос» — «валик». Цилиндр— это тело, полученное пересечением цилиндрической поверхно­сти и двумя параллельными плоскостями. Прямой круговой цилиндр — это тело, образованное вращением прямоугольника около одной из его сторон. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК.Термин образован путем соединения слов «четыре» и «угол». Четыре — общеславянское слово (сравним в литовском «кетичи» — "четыре», и в латинском "кватор" — »четыре"). Четырехугольник – это многоугольник, имеющий четыре стороны. ШАР. Слово образовалось от греческого «сфайра» — «мяч» путем перехода согласных сф в ш. Шар — это множество точек трехмерного пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки не больше данного расстояния. Шар – это тело, ограниченное сферой. ЭЛЛИПС. Слово произошло от греческого "эллипсис" — "опущение", «недостаток". В геометрии «недостаток» трактуется как недостаток эксцентриситета до 1. (Эксцентриситет эллипса – это величина, характеризующая отличие эллипса от окружности. Она равна отношению расстояния между фокусами эллипса. Для эллипса эксцентриситет меньше 1.) Эллипс– это замкнутая плоская кривая линия, сумма расстояний для каждой точки которой от двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная. Если фокусы совпадают, то эллипс превращаются в окружность, для которой совпадающие фокусы являются центром, а эксцентриситет равен 0. ЭЛЛИПСОИД. Термин означает «эллипсообразный». Слово образовано путем соединения двух греческих слов «эллипсис» («недостаток») и «эидос» («вид»). Эллипсоид — это поверхность, образуемая при вращении эллипса вокруг од­ной из его oceй. Если все оси эллипса одинаковы, то эллипс превращается в сферу.